ｱﾛｰの不可能性定理

｢不可能性定理｣と呼ばれることが多いが､本来は"general possibility theorem"であり､歴史的にはｱﾛｰの(一般)可能性定理とも訳されていた｡また単にｱﾛｰの定理 (Arrow's theorem) と呼ばれることもある｡

選択肢が3つ以上あるとき､定義域の非限定性､全会一致性､無関係な選択対象からの独立性､非独裁性をすべて満たす｢社会的厚生関数｣ (英:social welfare function) を作ることはできない､とする｡この場合の社会的厚生関数とは､一般に考えられているﾊﾞｰｸﾞｿﾝ‐ｻﾐｭｴﾙｿﾝ型のものとは異なり､反射性･完備性･推移性を満たす個人の選好関係の集まりから､反射性･完備性･推移性を満たす社会全体の選好関係を導く関数である｡これは18世紀以来知られていた投票のﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽ､もしくはｺﾝﾄﾞﾙｾのﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽと呼ばれるものを数学的に証明したものとも言える｡

まず､ｱﾛｰは社会の構成員全員の選好関係を変数として､次の3つの公理を満たす社会的選好関係≧(好き嫌いを表す｡数字の不等号でないことに注意)を作り出す関数を考え､それを社会的厚生関数と呼んだ｡

反射性
任意の選択肢xに関し常にx≧xが成立する｡ただしこれはあまりに自明なので､言及されない場合もある｡
完備性
任意の2つの選択肢x､yに対し､常にx≧yもしくはy≧xが成立する｡すなわち選好はどちらかが優先する(x>y､y>x)か同程度か(x=y､これを無差別という)かのいずれかである｡
推移性
任意の3つの選択肢x､y､zに対し､x≧y､y≧zならばx≧zである｡

選好関係≧がこの3つの公理を満たすならば､選択肢が何個あろうともそれが有限個である限り､最も良い選択肢(1個とは限らない)を選ぶことができる｡つまり､その選好関係は決定性を有する｡

次にｱﾛｰは､｢民主制｣にとってさらに下記の4条件が不可欠であるとした｡

社会を構成するそれぞれの個人の選好は反射性･完備性･推移性を満たす限り表明は自由である(定義域の非限定性､普遍性)
社会の全員の選好が｢xはyよりも良い｣とした場合､社会的選好も｢xはyよりも良い｣となる(全会一致性､ﾊﾟﾚｰﾄ原則)
任意のxとyの社会的選好が､その他の選択肢zに関する個人的選好の変化によって左右されない(無関係な選択対象からの独立性)
すべての選択肢に対する社会的選好が､構成員の中の特定の個人の選好と一致することはあってはならない(非独裁性)

そして､上述した前提としての決定性に関する3つの公理と民主制のための4つの条件をすべて満たす関数は､3つ以上の選択肢があるとき存在しないことを発見した｡すなわち社会的選択のための前提となる3つの公理と民主的決定のための4条件とは互いに相容れず､矛盾することを示した｡これを､ｱﾛｰ自身は｢一般可能性定理｣と呼んだ｡しかしこの定理のもつ含意から､｢ｱﾛｰの不可能性定理｣と呼ばれるのが一般的となった｡

このことは､決定性と民主主義の両立が困難であることを示唆しているとされる｡

ただし､｢選挙のﾊﾟﾗﾄﾞｸｽ—なぜあの人が選ばれるのか?｣(ｳｨﾘｱﾑﾊﾟｳﾝﾄﾞｽﾄｰﾝ (著)､篠儀直子(訳))によると､当定理は社会の構成員の表明するものが選好関係のみであることを前提としており､表明するものが選好関係に帰着できないRange_votingなどの手段を用いた場合には､当定理を当てはめることはできない｡このため､構成員の表明手段を選好関係に限ることが､決定性と民主主義の両立が困難になる十分条件になることを､当定理は示したに過ぎない｡裏を返せば､表明手段を選好関係に限定しなければ､決定性と民主主義の両立可能性は残されているという｡